jueves, 4 de noviembre de 2010

Funcion Homografica

Se llaman funciones racionales a las funciones definidas por las siguientes fórmulas y= P(x)/Q(x), siendo P(x) y Q(x) polinomios reales. Si Q(x)= a(función constante) la función racional es una función polinómica. Las funciones polinómicas son casos particulares de las funciones racionales. Como la función responde a una división de polinomios, el denominador debe ser distito de 0. ¿Por qué? Esto es así porque no está definida la división por 0, y por lo tanto, todo número dividido 0, tiende a infinito.

Por lo tanto, antes de graficar un función homográfica, es necesario calcular el dominio. Para ello, igualamos el denominador a 0. En símbolos: Q(x)=0. Por ejemplo, si queremos graficar Y= 1/(x-2), debemos primero calcular el dominio: x-2= 0, por lo tanto x=2, que es el punto donde la función no está definida por ende presenta Asíntota Vertical( AV: x=2). Además de presentar Asíntota Vertical, las funciones racionales presentan Asíntota Horizontal (AH). Ejemplo: Y=1/(X-2)+3, su Asíntota Vertical está dada por Y=3. ¿Por qué? Si reemplazamos en la fórmula Y=3, nos queda lo siguiente: 3=1/(x-2)+3 Por propiedad cancelativa, cancelo los 3, quedando 0=1/(x-2) Si paso multiplicando el paréntesis por 0, al ser el 0 el elemento absorbente de la multiplicación, me queda que cero es igual a 1, y esto es un absurdo! Hasta ahora hemos definido las funciones racionales. Ahora definiremos las funciones homográficas: una Función Homográfica es una función de la forma Y= (ax+b)/(cx+d),con c distinto de 0. ¿Por qué?, porque si c=0, la función queda de la forma siguiente: Y=(ax+b)/(0x+d), quedando una función lineal. Para graficar un función homográfica, proseguimos de igual forma que con las funciones racionales. Por lo tanto, AV:x=-d/c, y, AH: Y=a/c, siempre y cuando el grado de los polinomios es el mismo. De no ser así, realizamos la división de polinomios. El resto de la división es la AH.

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