Funciones

En matemáticas, una función aplicación o mapeo f es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x).
Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Las funciones son las siguientes:

Funcion Trigonometrica
Función Polinomica
Función Cuadrática
Función Afín (Lineal)
Función Logarítmica
Función Exponencial
Función Homografica

Funcion trigonometrica

Las funciones trigonométricas, en matemáticas, son relaciones angulares que se utilizan para relacionar los ángulos del triángulo con las longitudes de los lados del mismo. Las funciones trigonométricas son de gran importancia en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.

Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.

Funcion Polinomica

Las aplicaciones definidas entre conjuntos numéricos que responden a una forma polinómica se denominan funciones polinómicas. Estas funciones, que son continuas y derivables, constituyen una de las familias más comunes en la representación de los fenómenos naturales y se utilizan profusamente en los desarrollos algebraicos.


SUMA Y PRODUCTO DE FUNCIONES POLINOMICAS

Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones:

• Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x) que corresponde a un polinomio obtenido como la suma de los polinomios representativos de f (x) y g (x).
• Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x) determinada por el polinomio resultante de multiplicar todos los coeficientes de f (x) por l.
• Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x), cuyo polinomio representativo resulta del producto de los polinomios que definen f (x) y g (x).

Funcion Cuadratica

En matemáticas una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

                                        f(x) = ax² + bx + c

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:

Y = f(x)

esto es:

y = ax² + bx + c

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

Funcion Lineal

En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.
En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado.una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.
Esta función se puede escribir como:

F(x) = mx +b

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.
En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.
Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b es distinto de cero.

Funcion Logaritmica

En matemáticas, el logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial.
Logaritmación es la operación aritmética donde dando un número resultante y una base de potenciación, se tiene que hallar el exponente al que hay que elevar la base para conseguir el mencionado resultado. Así como la suma y multiplicación tienen como operaciones opuestas la resta y la división respectivamente, la logaritmación es la operación inversa a la exponenciación.
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo (base b) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bⁿ. Esta función se escribe como: n = log_b x, lo que permite obtener n.

log_b x = n <-> x = bⁿ

(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y solo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")

• La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 (b > 0, b =(desigual)1.
• x tiene que ser un número positivo (x > 0).
• n puede ser cualquier número real.

Así, en la expresión 10² = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log₁₀ 100 = 2.
Se denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e; fueron desarrollados por John Napier.
Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados y desarrollados por Henry Briggs.
Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: 10³ = 1000 luego Log₁₀1000 = 3.
Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Para indicar logaritmos en base e se usa ln.

Funcion Exponencial

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

E(x) = K . a^x

Siendo a, K E R números reales, a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.

Funcion Homografica

Se llaman funciones racionales a las funciones definidas por las siguientes fórmulas y= P(x)/Q(x), siendo P(x) y Q(x) polinomios reales. Si Q(x)= a(función constante) la función racional es una función polinómica. Las funciones polinómicas son casos particulares de las funciones racionales. Como la función responde a una división de polinomios, el denominador debe ser distito de 0. ¿Por qué? Esto es así porque no está definida la división por 0, y por lo tanto, todo número dividido 0, tiende a infinito.

Por lo tanto, antes de graficar un función homográfica, es necesario calcular el dominio. Para ello, igualamos el denominador a 0. En símbolos: Q(x)=0. Por ejemplo, si queremos graficar Y= 1/(x-2), debemos primero calcular el dominio: x-2= 0, por lo tanto x=2, que es el punto donde la función no está definida por ende presenta Asíntota Vertical( AV: x=2). Además de presentar Asíntota Vertical, las funciones racionales presentan Asíntota Horizontal (AH). Ejemplo: Y=1/(X-2)+3, su Asíntota Vertical está dada por Y=3. ¿Por qué? Si reemplazamos en la fórmula Y=3, nos queda lo siguiente: 3=1/(x-2)+3 Por propiedad cancelativa, cancelo los 3, quedando 0=1/(x-2) Si paso multiplicando el paréntesis por 0, al ser el 0 el elemento absorbente de la multiplicación, me queda que cero es igual a 1, y esto es un absurdo! Hasta ahora hemos definido las funciones racionales. Ahora definiremos las funciones homográficas: una Función Homográfica es una función de la forma Y= (ax+b)/(cx+d),con c distinto de 0. ¿Por qué?, porque si c=0, la función queda de la forma siguiente: Y=(ax+b)/(0x+d), quedando una función lineal. Para graficar un función homográfica, proseguimos de igual forma que con las funciones racionales. Por lo tanto, AV:x=-d/c, y, AH: Y=a/c, siempre y cuando el grado de los polinomios es el mismo. De no ser así, realizamos la división de polinomios. El resto de la división es la AH.

Clasificacion de las funciones

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

• Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.
• Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.
• Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.
'Definiciones alternas: sea dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación

• la función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.
• la función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.
• la función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Representacion de las funciones

Las funciones se pueden presentar de distintas maneras:

• usando una relación matemática descrita mediante una expresión matemática: ecuaciones de la forma y = f(x). Cuando la relación es funcional, es decir satisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir una función que se dice definida por la relación, A menos que se indique lo contrario, se supone en tales casos que el dominio es el mayor posible (respecto a inclusión) y que el codominio son todos los Reales. El dominio seleccionado se llama el dominio natural, de la función.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.

Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".

• Como tabulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de la función.

Ejemplo:

   X| -2 -1  0  1  2  3

   Y|  0  1  2  3  4  5

• Como pares ordenados: pares ordenados, muy usados en teoría de grafos.

Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3), ... (x, x+2)}

• Como gráfica: gráfica que permite visualizar las tendencias en la función. Muy utilizada para las funciones continuas típicas del cálculo, aunque también las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

5						X
4					X
3				X
2			X
1		X
0	X
y / x	-2	-1	0	1	2	3

Video - Concepto de funciones